El “Criterio de Kelly” explicado

En 1956, Kelly publicó una investigación en la que sugería un sistema óptimo de apuestas para juegos de azar. Este sistema pasó inadvertido hasta que Thorp lo mencionó en su libro “Beat the Dealer”. A partir de ese momento, fueron principalmente los jugadores de blackjack quienes los usaron, y se le conoce con el nombre de “Criterio de Kelly” para las apuestas.

Para entender cómo funciona hace falta saber algo de matemáticas, pero no es necesario ahondar en aspectos demasiado técnicos. De hecho, podemos usar este sistema de apuestas sin saber más que matemáticas básicas.

Hay juegos de azar que tienen una expectativa positiva para el jugador. Si sabemos contar cartas en el blackjack, es un juego de expectativa positiva. Lo mismo sucede en algunas máquinas de videopoker, si usamos la estrategia apropiadas. Thorp indica a este respeto que también se puede conseguir ventaja en las apuestas.

La pregunta que queremos plantear es: cuando encontramos un juego con expectativa positiva, ¿cuál es el mejor modo de usar nuestro bankroll? O, dicho de otro modo: ¿cuál es el mejor sistema de apuestas? No hay una respuesta definitiva, pero podemos intentar una aproximación.

Para explicar cómo funciona este sistema, supongamos un juego simple, de tiradas independientes, a ganar o perder, con una expectativa positiva del 2%. Si g es la probabilidad de ganar, y p la de perder, entonces la expectativa E, es

E= g – p

g +p = 1

E = 2g – 1 = 0.02

Por lo tanto: g = 0.51 y p = 0.49

Sabiendo esto deberíamos subir la apuesta cuando tenemos probabilidades de ganar y bajarla cuando las probabilidades mayores son de perder. Si tenemos una apuesta de $50, por la cual estamos dispuestos a arriesgar $5, cuando la apuesta llega a $1000 deberíamos arriesgar $100; si la apuesta baja a $10, deberíamos arriesgar sólo $1. Este tipo de apuestas se llama apuesta proporcional y está basado en el criterio de Kelly.

Si c representa la cantidad que el jugador está dispuesto a arriesgar, c siempre está entre 0 y 1. El verdadero desafío radica en elegir la cifra exacta de c, para que después de una cantidad de pasos esta apuesta sea rentable y siga siendo operativa, según nuestro bankroll.

Sobre el manejo del dinero en el casino

Tener el control de nuestro dinero no hará que la ventaja de la casa disminuya o desaparezca de los juegos de casino, pero puede hacer que disfrutemos más nuestra sesión de juego.

Manejar el dinero es, básicamente, hacer que dure más, controlando la cantidad de dinero que arriesgamos en cada una de las apuestas que hacemos. Esto reducirá las pérdidas al monto que nosotros mismos nos impongamos, y el tiempo de juego también dependerá sólo de nosotros.

Controlar nuestro dinero en el casino online no es difícil. Lo primero que debemos hacer es establecer un presupuesto. El problema con los juegos de casino es que no tienen un precio fijo: nosotros ponemos el precio al que “compraremos” un tiempo en la ruleta, o la mesa de dados o blackjack. Y así como no gastamos más de lo que podemos en otros aspectos de nuestra vida, con el juego de casino debemos hacer lo mismo. Démoslo por perdido de entrada y consideremos que hemos pagado un rato de entretenimiento. Si tenemos una determinada cantidad de dinero para el mes, la dividiremos en cantidades más pequeñas para cada día, y no jugaremos más que eso. Si pensamos que no podremos controlarlo, es mejor hacer pequeños depósitos una vez por semana, por ejemplo. Y limitarnos a ese presupuesto semanal.

Otro punto importante es establecer los límites de las apuestas que haremos. Obviamente, con un bankroll limitado, sólo podremos hacer apuestas bajas, si queremos jugar durante un buen rato. Las máquinas tragamonedas de 0.01$ a 0.05$ pueden ser una buena opción.

Tampoco conviene jugar en varios juegos de manera simultánea, porque perdemos la noción de lo que gastamos y, además, gastaremos más rápido nuestro dinero.

Si ganamos, deberíamos dejar las ganancias sin tocar, y continuar jugando con nuestro presupuesto inicial. De ese modo, podemos hacer incluso un ahorro mensual. Para considerar que un dinero es ganancia pura, debemos descontar la comisión del casino o la ventaja del casino.

Una vez que hemos agotado nuestro bankroll semanal o mensual, debemos tener la suficiente disciplina para no depositar más dinero hasta la siguiente semana o el siguiente mes. Más aún: si el bankroll se agota antes de tiempo, es que no hemos sabido manejar el dinero como teníamos previsto. En ese caso, debemos rever nuestra actitud con respecto al juego y aprender a controlarnos a nosotros mismos.

Azar e imaginación

Nathalie Angier es una columnista del diario New York Times, especializada en ciencia. En su libro “El canon” explora, entre otros, el tema del azar, y relata una anécdota que explica el modo en que los seres humanos nos figuramos el azar.

Lo que se deduce de esta anécdota es que no comprendemos absolutamente cómo funciona el azar, lo aleatorio, en el corto plazo, sino que tendemos a “emparejar” resultados.

La historia relatada por Angier ocurre cada año en una escuela de Estados Unidos, en la que la profesora Deborah Nolan comienza el año escolar pidiendo a sus alumnos que hagan un experimento: la mitad de la clase hará una serie de lanzamientos de una moneda y anotará los resultados. La otra mitad imaginará esa misma cantidad de lanzamientos, y tomará nota del supuesto resultado. Los alumnos deben dejar las hojas con los resultados sobre su escritorio, totalmente mezcladas entre sí.

Nolan se retira de la clase mientras se realiza el experimento. Al regresar, la profesora separa en dos grupos los resultados: los lanzamientos reales por un lado, los imaginarios por el otro. Y nunca falla. La verdad es, explica Canon, que lo que Nolan hace es reconocer el patrón del verdadero azar, que resulta ser menos “azaroso” que el imaginario.

En los lanzamientos reales, suele haber series de varias caras seguidas, por ejemplo, mientras que en los imaginarios, las personas tienden a emparejar la cantidad de caras y cruces, según lo que suponen que es el azar.

Esto da cuenta de que pocas personas comprenden en verdad lo que es la aleatoriedad y cómo funciona. Y por qué es tan difícil encontrar un sistema que realmente funcione para vencer en los juegos de azar: nuestra mente no parece estar a la altura de las circunstancias.

La apuesta de ruleta a Cinco Primeros

Entre todas las apuestas que podemos hacer en la ruleta, están las apuestas a pleno. Tanto el 0 como el 00 son números a los que podemos apostar igual que al resto, aunque no suelen ser los favoritos de los jugadores de ruleta. Más aún: la apuesta a doble cero en ruleta americana es una de las más riesgosas para nuestro bankroll.

Con cualquier apuesta a pleno en ruleta americana sabemos que la ventaja de la casa es del 5.26%. También con las apuestas a dos números, a docena o columna, rojo o negro, etc. Pero hay una apuesta en que esto varía, y es la apuesta a Cinco Primeros: 0-00-1-2-3. Con esta apuesta, la ventaja de la casa trepa al 7.89%. Es decir que, por cada $100 que apostamos, en lugar de quedarse con $5.26, la casa se queda con $7.89. Gran diferencia, ¿verdad?

La explicación está en la tabla de pagos de los casinos. No pueden pagar en las apuestas a números enteros (en 5 números) por cada dólar apostado, con el mismo porcentaje que cuando está involucrado el 00. En la apuesta a Cinco Primeros los casinos pagan 6:1. Si pagaran a cinco números individuales, deberían pagar 6,20:1. Ese $0.20 que no pagan hace la diferencia.

Veamos un ejemplo: hacemos una apuesta de $5 a Cinco Primeros. Cobramos $30 (6:1), que sumados a los $5 apostados, son $35. Si apostamos $1 a cada uno de los cinco números en forma individual, y acertamos uno de ellos, cobramos $35 que, sumados al $1 que apostamos da $36.

Esa diferencia que no se paga es lo que hace que la ventaja de la casa para esta apuesta trepe tanto por encima de la ventaja habitual.

Consejos breves para jugadores de juegos de casino

Uno de los factores que diferencia a los juegos de casino de otras formas de entretenimiento, es que nunca sabemos cuánto nos va a costar. Podemos tener una presupuesto más o menos fijo, y es una forma de controlar el gasto. Pero el hecho de ganar o perder variará los resultados, siempre.

Por eso es importante no jugar fuera de los límites que podemos permitirnos: si tenemos poco dinero, no podemos jugar en mesas de apuestas altas, o en tragamonedas de $1 el giro. Debemos ajustar el nivel de juego a nuestras posibilidades.

Siempre debemos prestar atención a los límites de apuestas de las tragamonedas y máquinas de videopoker. Algunos jugadores tienen el hábito de jugar la apuesta máxima, sin darse cuenta de que en algunas máquinas esta apuesta puede ser bastante alta. Siempre conviene leer las especificaciones de cada juego antes de apostar.

Las reglas de juego varían de casino en casino y también entre variantes de un mismo juego. No conocer las reglas puede ser un error costoso.

En la ruleta, los sistemas de apuestas más convenientes son siempre aquellos que cubren gran cantidad de números. No ganaremos demasiado, pero cubriremos las pérdidas al máximo.

Siempre deberíamos estar atentos a las ofertas y promociones que hacen los casinos online. Pueden ser muy convenientes, y ayudarnos a compensar algo del dinero que hayamos perdido.

Para vencer al casino

El problema por el cual el casino siempre gana radica en que lo que nos paga el casino, cuando ganamos, no es exactamente lo que debería, y no tiene nada que ver con la diferencia entre las probabilidades de la banca y las del jugador. Lo que cobramos no corresponde exactamente a las probabilidades matemáticas; pero sí lo que perdemos.

En resumen: siempre perdemos más de lo que ganamos, incluso con la misma apuesta. En la ruleta de doble cero, por ejemplo, las probabilidades son 37:1, pero por una apuesta de $10 ganamos $350. Y si apostamos esos mismos $10 pero repartidos en 2 columnas, por ejemplos, sólo ganaremos $5 en lugar de 24:14 como deberíamos.

Si no existiera esta brecha, podríamos terminar una sesión de casino nivelados, por ejemplo. En simulaciones hechas por ordenador para comprobar esta teoría, los apostadores no salieron totalmente hechos, pero la ventaja del casino tendía claramente a cero.

Es una idea interesante para que analicen aquellos que buscan métodos para vencer al casino.

Reglas de etiqueta para craps

Todos los juegos tienen dos clases de reglas: las que determinan la mecánica del juego, y las que indican el comportamiento adecuado al jugarlo. Estas últimas reglas se llaman “etiqueta”, y son, simplemente, una cierta cantidad de consejos de las cosas que no deberíamos hacer en una mesa para, básicamente, no molestar o poner incómodos a otros jugadores, o que no están permitidas por los casinos.

En el craps también existen estas reglas no escritas, pero que todo jugador debería conocer antes de acercarse a la mesa a lanzar los dados.

1 – Cuando es nuestro turno de lanzar, no debemos soplar los dados o frotarlos contra nuestra ropa. Simplemente los sacudimos en la mano y los lanzamos del modo apropiado (deben golpear contra la pared trasera de la mesa).

2 – Los dados no deben salir de la mesa al lanzarlos. Si caen fuera de la mesa, el lanzamiento no es válido.

3 – Las únicas apuestas que podemos hacer por nosotros mismos son las de Pase, No Pase, Field, Venir y No venir. El resto de las apuestas las hace el crupier por nosotros.

4 – No podemos cambiar las fichas de baja denominación por fichas de denominación más alta, a menos que vayamos a dejar la mesa.

5 – No debemos tocar al crupier.

6 – Cuando le decimos al crupier cuáles serán nuestras apuestas, y cuánto apostaremos, debemos hablar en voz alta y en forma clara.

7 – Debemos asegurarnos de hacer nuestras apuestas cuando los dados todavía se encuentran en el centro de la mesa. Las apuestas tardías pueden ser tomadas como un intento de engaño. Aunque es probable que el crupier ni siquiera nos permita hacer estas apuestas.

8 – El crupier tiene un sistema para pagar las apuestas ganadoras. Debemos esperar nuestro turno con paciencia.

9 – No debemos tocar nuestras fichas mientras esperamos que nos paguen.

10 – Si queremos volver a hacer la misma apuesta, es conveniente que se lo comuniquemos al crupier antes de que nos pague. De ese modo le evitamos tener que contar las fichas dos veces.

¿Se puede medir la suerte en el juego?

¿Podemos ponerle una cifra a la cantidad de suerte que hemos tenido en un juego de casino? Si lo hacemos jugada a jugada, apuesta por apuesta, lo que podemos determinar, es, sin duda, la probabilidad de que determinado resultado se dé o no. La expectativa combina la probabilidad con el pago que recibimos y, con frecuencia, se usa para determinar la “suerte” que necesitamos para ganar. La idea generalizada es que la expectativa negativa necesita de más suerte para dar ganancia que supere a la ventaja de la casa.

Otro aspecto a tener en cuenta para “medir” la suerte es la volatilidad, las fluctuaciones del bankroll durante un juego. El problema es que la volatilidad es bidireccional, es decir, va en las dos direcciones, aumenta y disminuye el bankroll. Los pequeños altibajos pueden ser mitigados por la suerte, pero con las grandes fluctuaciones no es posible.

Un nuevo factor: el monto de los pagos. Las apuestas que ganan con frecuencia pero generan pequeños pagos son consideradas en forma negativa. Cuanto más fácil es ganar pequeñas sumas, más negativo. Las apuestas que tiene poca probabilidad pero pagan mucho se consideran en forma positiva. La conclusión es que debemos tener mala suerte para perder con las apuestas con alta probabilidad y buena suerte para ganar con las que tienen baja probabilidad.

En resumen: la buena o mala suerte tiene una relación inversamente proporcional a la probabilidad de ganar una apuesta. La suma de suerte + probabilidad determinará la volatilidad del bankroll.

¿Apuestas altas o bajas?

Digamos que queremos jugar juegos de casino y pretendemos ganar mucho dinero. Tenemos un bankroll disponible que consideramos suficiente y estamos decididos a ganar mucho o perder todo en el intento. ¿Qué tipo de apuestas es mejor hacer: muchas pequeñas o pocas grandes?

Tenemos dos posibilidades: una es hacer apuestas bajas en juegos que tienen un alto porcentaje de devolución, como las tragamonedas o juegos de mesa con bonus. El problema con estos juegos es que, a mayor retorno, menos probabilidades de acierto.

El otro método es hacer apuestas altas en juegos con bajo retorno, que pagan menos por apuesta pero tienen más probabilidades de acierto, como la apuesta a la banca en baccarat, por ejemplo., o la apuesta Pass Line en craps.

Vamos a ver como funcionarían estas apuestas en un ejemplo.

Supongamos que comenzamos con $100 y lo apostamos todo en Pass. Las probabilidades de ganar, redondeando, son de 1 cada 2 apuestas. Si vamos agregando en cada apuesta las ganancias de la apuesta anterior, en cada nivel las probabilidades serán como sigue: 1:4 ($300), 1:8 ($700), 1:17 ($1500) y así sucesivamente hasta, digamos, 1:1181 ($202.300). Parece una probabilidad algo remota, ¿verdad?

¿Y qué probabilidades tenemos de acertar el jackpot si apostamos esos $100 iniciales en una tragamonedas de apuestas $1? La respuesta no es sencilla porque no conocemos exactamente los porcentajes de retorno de esas tragamonedas. Podemos ver qué sucede en una máquina similar, en el videopoker. Las probabilidades de ganar $1.000 apostando $1.25 por cada tirada son de 1:40.000.

En forma alternativa, podemos comenzar con una apuesta de $100 y apostar $25 por lanzamiento en Pass. Doblaremos nuestro dinero en 1 de cada 4 lanzamientos. Si ganamos 3 y perdemos 1 estaremos $50 arriba.

La verdad es que cada caso es único porque todos tienen distintas probabilidades de éxito. Pero, en principio, lo que aparece como más consistente es la apuesta a Pass en craps. Lo que probablemente tenemos que modificar es el objetivo: no pretender hacernos millonarios en una noche, pero sí, por ejemplo, doblar nuestra apuesta, que es lo que parece presentar mejores probabilidades de suceder.

El baccarat y sus apuestas

El baccarat es un juego muy sencillo, en el que sólo existen tres apuestas posibles entre las que podemos elegir. Como el juego se basa, en realidad, en la apuesta que hacemos, y no existe la posibilidad de cambiar las jugadas, no hay estrategias que se puedan aplicar como en otros juegos, en que debemos decidir qué haremos con nuestras cartas. Lo que podemos hacer es tratar de elegir nuestra apuesta con un cierto criterio, para perder la menor cantidad de dinero posible.

Por lo general, en los casinos hay pantallas electrónicas en las que podemos ver los resultados de las manos anteriores. Muchos jugadores analizan estas manos para tratar de descubrir algún patrón en la salida de las cartas, para hacer la mejor apuesta. Esto no tiene ninguna utilidad por dos motivos: el primero es que cada tirada es independiente de la anterior, y las cartas que salieron previamente no influyen en las que saldrán después. El segundo motivo es que, si realmente fuera de alguna utilidad, los casinos no lo pondrían a nuestra disposición.

La apuesta a la banca es la que tiene mayores probabilidades de ganar, y esto es lo que realmente necesitamos saber. Por esta apuesta el casino nos cobrará una comisión del 5%, que descontará del pago que deben hacernos cuando acertamos.

La siguiente apuesta, en porcentaje de probabilidad, es la apuesta al jugador, que además no tiene ninguna comisión.

La apuesta a empate es la que más paga (8:1) pero, justamente, porque tiene escasas probabilidades de acierto y le da a la casa una ventaja del 14%.

Lo que sí podemos hacer para mejorar nuestras probabilidades, es buscar los sitios donde se juegue baccarat con la menor cantidad de cartas. En los casinos se usan, por lo general, 8 mazos, aunque es posible encontrar lugares donde se juega con menos.

En los casinos online puedes jugar baccarat gratis, y comprobar por ti mismo las probabilidades de cada una de las apuestas. De ese modo estarás preparado cuando comiences a jugar por dinero real.